vendredi 16 juillet 2010

La fin de "Lost" et le dilemme du volontaire


J’ai lu récemment un reportage dans le Nouvel Obs qui présentait des philosophes et autres penseurs académiques qui utilisaient les séries télévisées (Lost, les soprano, etc.) pour étayer leur argumentaire scientifique ou leurs présentations pédagogiques (ou encore ici pour illustrer mon propos). Je tiens à dire, cher éditeur du Nouvel Obs, que j’étais un peu déçu de ne pas avoir été mentionné, moi qui ennuie mes lecteurs avec des films improbables et autres séries télévisées plus ou moins brillantes pour illustrer mes propos économiques. Comme le disait Calimero, penseur italien bien connu dans les années 70-80, « c’est vraiment trop injuste.. »
Bah, je ne serai reconnu qu’après ma disparition (la plus tardive possible j’espère) et mon apport sera enfin estimé à sa juste valeur, au sein de la blogosphère économique équivalent sans nulle doute à l’œuvre de Pascal Obispo au sein de la pop mondiale.
[Bon, en même temps,  mon espoir est modeste…]

L’ultime saison de Lost vient d’être diffusée sur une chaine bien connue et un des ultimes épisodes m’a inspiré ce billet. Lors d’une scène cruciale, Jacob, personnage mystérieux qui est chargé de la protection de l’ile, déclare à Sawyer, Hurley, Kate  et Jack, qu’il doit trouver un volontaire pour prendre son relai, sa capacité à protéger l’ile s’achevant d’ici peu. Il leur explique que, dans le cas où aucun volontaire parmi eux ne se désignerait, le mal déferlerait sur le monde (je simplifie un peu mais je n’ai pas envie de barber le lecteur qui s’intéresse peut être à "Lost" autant que je m’intéresse à « Plus belle la vie »). Jack, comme frappé de révélation depuis quelque temps, se propose comme volontaire presque immédiatement, mettant ainsi fin au dilemme qui se pose au petit groupe des survivants réunis par Jacob.
On se dit que cette andouille de Jacob aurait pu proposer ce choix un peu plus tôt dans la série, alors que la plupart des protagonistes sont morts. En effet,  faisant cette  proposition à un moment où il ne reste grosso modo que quatre personnages, il a moins de chances d’obtenir l’accord d’un volontaire qu’au début de la série ou même simplement de cette dernière saison, les volontaires potentiels étant beaucoup plus nombreux.

Mettons nous dans la situation. Imagines toi, lecteur, au cours d'une ballade le long de la Seine lors des sessions de Paris Plage. Au sein d’une foule dense, tu réalises soudain qu’un homme est tombé à l’eau et qu’il est train de se noyer. Il s'appelle Marcel, vient de Franche Comté et rend visite à sa belle-mère...

[Cela n'a strictement aucun intérêt mais c'est pour provoquer un suspense totalement artificiel et donner un peu de chair à mon propos afin que toi lecteur, tu sois suffisamment accroché pour aller jusqu'à la fin de ce long billet].

Toutes les personnes présentes l’ont entendu crier à l’aide. Manifestement, d’après ce que tu as pu en voir, c’est un costaud, probablement autour d’1m90 et 100 kgs au bas mot.  Il y a donc un risque à tenter de l’assister : comme il semble pris de panique, il peut très bien t'entrainer avec lui en se débattant.  Vas-tu prendre le risque de te jeter à l’eau pour le sauver ou vas-tu attendre qu’une personne présente prenne cette décision à ta place ? Après tout, tu pourrais penser que, étant très nombreux, il y a forcément une personne qui se décidera avant toi et réussira sans doute à sauver l’homme en question.

C’est ce phénomène qui est décrit dans le jeu du "dilemme du volontaire" (volunteer's dilemma), présenté par Diekmann en 1986. On parle de dilemme du volontaire dans la mesure où on décrit une situation dans laquelle les gens préfèrent que quelqu’un d’autre qu’eux-mêmes soit volontaire pour faire quelque chose, mais préfèrent quand même être volontaire dans le cas où ils peuvent être sûrs que  personne ne l’est. Le lecteur qui voudrait plus de détails peut se reporter utilement à l’un sinon mon ouvrage culte en matière d’enseignement de la microéconomie, et que j’utilise régulièrement dans ce blog, Markets, games and strategic behavior, de Charles A. Holt.

[J'allume d'ailleurs des cierges pour Charlie à notre dame de Paimpont chaque dimanche que Dieu fait]

D’un point de vue plus général, y a-t-il plus de chances de trouver un volontaire au sein d’un groupe  pour faire quelque chose de coûteux individuellement quand le nombre des membres du groupe est élevé ou faible ? L’intuition pousserait à répondre que, plus le nombre de personnes est élevé, plus la chance d’avoir au moins un volontaire qui se désigne est grande.

Cette intuition est confirmée par une analyse théorique simple. Pour expliciter un peu mieux le problème, supposons une foule immense constituée de deux personnes et faisons l’hypothèse que, si la personne est sauvée, chaque personne appartenant à cette foule gagne V. Tout le monde souhaite ardemment que l’individu en détresse soit sauvé, et le sauver est donc une sorte de bien public. Si je suis le volontaire, il m’en coutera C (C peut très bien représenter un coût espéré). Si la personne n’est pas sauvée, chaque individu « gagne » L. Pour qu’il n’y ait pas d’équilibre de passager clandestin dans ce jeu (c’est-à-dire une situation dans laquelle personne ne sauve l’individu, ce qui nous ferait retomber sur un problème très classique), supposons par ailleurs que V-C soit plus grand que L, ce qui signifie que même si je supporte le coût de sauvetage, ma situation est meilleure en ayant sauvé que dans la situation où personne n’a joué les sauveteurs.

Compte tenu de ces hypothèses, deux équilibres (de Nash) asymétriques sont possibles, l’un dans lequel je suis volontaire et l’autre ne l’est pas, et l’autre dans lequel je ne suis pas volontaire et l’autre l’est. Les situations symétriques dans lesquelles il n’y a aucun volontaire et où tout le monde est volontaire ne sont pas des équilibres du jeu.

Par ailleurs, comme dans tous les jeux de coordination, il existe un équilibre symétrique en stratégies mixtes, dans lequel chaque joueur a une probabilité p d’être volontaire et une probabilité (1-p) de ne pas l’être. Supposons qu’il y ait n joueurs. En tant que joueur, pour déterminer la probabilité avec laquelle je vais accepter d’être volontaire, je dois rendre équivalent le gain que j’aurais à être volontaire au gain espéré que j’aurai à ne pas l’être. On peut montrer assez facilement que la probabilité pour chaque joueur de ne pas être volontaire est :

La probabilité d’être individuellement volontaire de manière intuitive, décroit quand C augmente, croit quand (V-L) augmente et décroit quand n, la taille du groupe augmente.
Par conséquent, la probabilité dans un groupe de n joueurs qu’il y ait aucun volontaire est  (1-p)^n, soit si on utilise l'équation ci-dessus :


La probabilité qu’il n’y ait aucun volontaire parmi les n joueurs croit donc avec la taille du groupe (quand n tend vers l’infini, cette probabilité converge vers la valeur du ratio entre C et V-L). D'un point de vue théorique, plus la taille du groupe est importante, plus la probabilité qu'il n'y ait aucun volontaire augmente, même si, à partir d'un certain seuil de taille, elle augmente de moins en moins vite.

L’évidence expérimentale est assez intriguante sur un tel jeu : la probabilité d’être individuellement volontaire telle qu’on l’observe semble bien décroitre avec n, comme le prédit l’équilibre de Nash, (première équation) mais, contrairement au modèle théorique, la probabilité qu’il n’y ait aucun volontaire ne s’accroit pas avec n (ce que dit la seconde équation).

Franzen a par exemple réalisé en 1995 une série d’expériences dans lesquelles chaque participant doit décider une seule fois d’être volontaire ou non pour réaliser une certaine tâche profitable à tous. La taille du groupe varie selon les expériences, les autres paramètres du jeu restant identiques (principalement V, C et L ; la valeur de V-L est de 100$ et la  valeur de C de 50$). L’un de ses principaux résultats est que le taux de volontariat (ratio entre le nombre de personnes qui se déclarent volontaires et le nombre de personnes présentes dans le groupe) décroit au fur et à mesure que la taille du groupe augmente. Par exemple, pour des groupes de deux personnes, ce taux est de 65% mais pour des groupes de 50 personnes, il n’est que de 20%. Ceci est conforme avec l’idée que la probabilité pour un individu d’être volontaire décroit avec n.

Par contre, quand la taille du groupe est de n = 2, la fréquence de l’évènement « il n’y a aucun volontaire » est d’environ 12%. Quand n = 50, cette fréquence est proche de zéro. Il y a donc empiriquement toujours un volontaire quand la taille du groupe est suffisamment grande. Au-delà d’une taille d’environ 10 personnes, il y a toujours quelqu’un qui se sacrifie pour le bien être commun (alors que la probabilité qu’il n’y ait aucun volontaire devrait converger vers 50$/100$ soit ½). Quand n = 4, comme à la fin de Lost, la probabilité qu’il n’y aucun volontaire pour protéger l’ile est d’environ 7% selon les résultats de l’expérience de Franzen. C'est faible mais significativement plus grand que zéro.

Bref, Jacob aurait du proposer la chose au début de la saison 1 quand le nombre de rescapés sur l’ile était très grand. Mais il faut reconnaître que personne n’aurait rien compris et surtout que cela n’aurait eu aucun intérêt narratif, car les scénaristes n’auraient pu nous tenir en haleine pendant les six saisons qu’ils ont utilisées pour faire disparaître une partie des rescapés de l’ile.
La moralité (expérimentale) à tirer de cette histoire est qu’il vaut mieux avoir à désigner un sacrifié dans une grande foule que dans un petit groupe, vous avez plus de chance de pouvoir vous défiler.

Sur cette grande leçon de philosophie économique et d'héroïsme quotidien, pleine d'un cynisme que je n'accepte moi-même que difficilement, je pense qu’il est grand temps pour moi de partir en vacances pour reposer mes neurones fatigués et te dire, lecteur, à très bientôt pour de nouvelles aventures...

7 commentaires:

  1. Quel naze, ce Jack... It was all the dog's dream !
    Sinon, peut-on considérer que plus le groupe est petit, plus les liens sont étroits et plus le contrôle social est fort, poussant la conscience altruiste à s'exprimer plus volontairement que dans un grand groupe anonyme ?
    De mémoire, c'est un peu ce que suggère Landsburg dans The armchair economist, à propos des donuts (Hmmmmmm !) en libre-service dans une entreprise : plus l'entreprise est petite, plus la conscience collective imprègne l'individu, qui fraudera rarement.
    Sur ce, je retourne boire, ce commentaire m'a éreinté.

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  2. @VilCoyote
    Merci pour le commentaire, d'autant plus méritoire vu la chaleur. Vous avez raison, la pression des pairs est d'autant plus forte que le groupe est petit (je ne sais pas si c'est un problème de conscience altruiste, mais bon cela peut en faire partie), c'est ce que l'on observe dans les contributions expérimentales dans un jeu de bien public qui sont d'autant plus importantes que la taille du groupe est réduite. Ce phénomène est bien documenté, même si je ne connaissais par la référence de Landsburg. J'irai voir cela de près, j'aime trop les donuts.
    Ici, ce qui m'amusait était (one more time) d'observer un phénomène a priori contre-intuitif : le relatif anonymat d'une grande foule ne rend pas l'issue pareto-dominée d'un dilemme du volontaire plus probable... Par contre, je n'ai pas d'explication claire sur les motivations des individus.

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  3. "au secours, je me noie dans l'explication" !!!

    Pas de bol, tout le monde s'est défilé au sein de la grande foule des vacanciers, Laurent le premier.

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  4. @Joel
    Dammed, mon billet serait-il aussi incompréhensible que le scénario de Lost ? Je plonge dans les eaux de la Méditerranée pour réfléchir à tête refroidie à cette angoissante perspective...

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  5. lol, j'adore les théories transposées en mathématiques-protégés-par-des-conditions, on est jamais d'accord avec les résultats.

    Il me faut relire le billet, certaines choses m'échappent. En tout cas Rédacteur, tu viens de gagner un nouvel abonné.

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  6. @david
    J'admets après relecture que mon post est un peu ardu à la lecture, donc bravo d'avoir eu le courage d'aller au bout;-)

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  7. Mais elle est très bien la première phrase.

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